شبیه‌سازی تیر با نیروی متحرک

در برخی از مسائل، محل نیرو با زمان، تغییر می‌کند. مانند حرکت قطار بر روی پل یا حرکت یک منبع حرارتی در محل جوش. در این مثال نیروی رونده بصورت مجموعه‌ای از نیروهای پالسی بر روی تیر چند دهانه‌ی پیوسته با تکیه‌گاه در فواصل یکسان، مدل شده است.

مدل بصورت پارامتری می‌باشد، درنتیجه به سادگی می‌توانید، سرعت حرکت نیرو یا فاصله‌ی بین آن‌ها را تغییر دهید، که برای نشان دادن حالات خاصی از نیرو است که در تیر، تشدید نیز رخ می‌دهد.

تعریف مدل

امکان واردکردن عبارات تحلیلی یا استفاده از توابع داخلی و یا خارجی برای وارد کردن نیرو و شرایط مرزی، مدل‌سازی نیروی متحرک را در نرم‌افزار کامسول، آسان می‌کند. نیرو با توزیع ثابت و سرعت ثابت \(\mathbf{v}\) را می‌توان بصورت ریاضی تعریف نمود: $$f(\mathbf{x} -\mathbf{v} t)$$

این نوع از نیرو در این مدل استفاده شده است هرچند شما می‌توانید هر تابع دلخواهی از فضا و زمان را در مدل، تعریف نمایید.

هنگامی که نیرو، حین حل، حرکت می کند، بطور کلی چند المان محلی را پوشش می‌دهد. این مشکلی به‌وجود نمی‌آورد، چراکه از نیرو، انتگرال عددی گرفته می‌شود. اندازه‌ی المان هم باید طوری انتخاب شود تا چند المان در معرض نیرو قرار گیرد.

موارد بسیاری از مدل می‌تواند بصورت پارامتری بررسی شود. جدول زیر مقادیر مورد استفاده در تجزیه و تحلیل را نشان می‌دهد.

سیملب سنتر
جدول1: پارامترهای هندسی

ماده‌ی تیر، بتن بوده که از کتابخانه مواد نرم‌افزار، قابل دسترس است. با مشخصات \(E=25GPa\)، ضریب پواسون \(v=0.33\) و چگالی \(\rho=2300kg/m^3\).

تیر نیز در انتهای هر فاصله، مهار شده است.

نیرو روی سطح بالایی تیر حرکت می‌کند. که با پارامترهای جدول 2، کنترل می‌‌شود:

سیملب سنتر
جدول2: پارامترهای نیرو

همچنان که از جدول مشخص است، چهار حالت نیرویی، بررسی خواهد شد:

  1.  نیروی متحرکی تکی با سرعتی کمتر از فرکانس طبیعی سیستم.
  2. نیروی متحرک تکی با سرعتی برابر با فرکانس طبیعی سیستم.
  3.  نیروی متحرک قطاری یا دنباله‌ای که در سرعتی برابر با سرعت بحرانی فرکانس طبیعی حرکت می‌کند. و فاصله‌ی بین نیروها نیز به اندازه‌ی عرض دو دهانه است.
  4. نیروی متحرک قطاری یا دنباله‌ای که در سرعتی برابر با سرعت بحرانی فرکانس طبیعی حرکت می‌کند. و فاصله‌ی بین نیروها نیز به اندازه‌ی عرض یک دهانه است.

نتایج و بحث

کمترین فرکانس تیر را می‌توان بصورت تحلیلی محاسبه نمود که البته به تعداد دهانه‌ی تیر وابسته نیست. درواقع برابر با فرکانس طبیعی تیر دو‌سر لولا با طولی برابر با طول یک دهانه است. که با رابطه‌ی زیر محاسبه می‌شود:$$f_0= \frac{\pi }{2} \sqrt{\frac{EI}{\rho AL_s^4} } $$

که باتوجه به پارامترهای داده شده، فرکانس طبیعی 4.49 هرتز، بدست می‌آید. بنابراین انتظار می‌رود که حرکت نیرو در دهانه‌ای به طول \(L_s\) در نصف پریود \(T_0\) از فرکانس طبیعی، منجر به تحریک تشدیدی در سیستم گردد. در نتیجه این سرعت بحرانی بطور تقریبی برابر است با:$$v_c=\frac{L_s}{\frac{T_0}{2} } =2Lf_0\approx 89.7\, m/s$$

تاثیر تغییر سرعت یا فاصله‌ی بین نیروهای رونده در شکل 1 نشان داده شده است. جابجایی نقطه‌ی میانیِ دهانه‌ی ابتدایی بر حسب محل نیروی متحرک اولی نشان داده شده است. محور افقی همچنین می‌تواند نمایانگر زمان باشد، با مقیاس سرعت نیرو، چرا که \(\mathbf{x} _f=\mathbf{v} t\)

از نمودار نتایج زیر حاصل می‌شود:

  •  در سرعت پایین(20m/s) نتیجه با حل پایا شباهت دارد. هنگامی که نیرو از دهانه‌ی اول دور می‌شود، نوسانات تیر کاهش می‌یابد.
  •  وقتی که سرعت نیرو(89.7m/s) طوری باشد که دو دهانه را در یک پریود \(T_0\) طی کند، می‌تواند رزونانس را به وجود آورد. این وقتی مشاهده شده است که از نیرها‌ی قطاری با فاصله‌ی زیاد از هم (160m که اساسا نمایانگر نیروی تکی است) استفاده شده است، همچنین وقتی فاصله‌ی نیروها به اندازه‌ی دو دهانه بوده است(20m). خب این به این دلیل است که نیرو همیشه به سمت پایین بوده و منجر به حرکت رو به پایین آن می‌شود و درنتیجه یک قدرت ورودی مثبت ایجاد می کند.
  •  حتی اگر نیروها در سرعت بحرانی نیز حرکت کنند می‌توانند تحت شرایط خاصی اثر یکدیگر را خنثی کنند. این در آخرین تحلیل، نمایان است، وقتی که فاصله‌ی بین نیروها به اندازه‌ی یک دهانه است(10m). در این حالت تمامی نیروهای دیگر، خلاف جهت سرعت تیر اعمال می شوند یا به بیان دیگر، سرعت تیر هنگام رویارویی با نیروی متحرک بعدی، خلاف جهت نیرو است و درنتیجه ارتعاشات را محدود می کند.
سیملب سنتر
شکل1: جابجایی نقطه‌ی میانیِ دهانه‌ی ابتدایی بر حسب محل نیروی متحرک اولی
سیملب سنتر
شکل2: جابجایی تیر هنگامی که بارها به سمت راست با سرعت و فاصله حرکت می کنند و موجب تقویت پاسخ تیر می شوند.

ویدئوی شبیه‌سازی تیر با نیروی متحرک

در مدل ارائه شده در کتابخانه نرم افزار، نقصی جزئی وجود دارد که در فیلم بدان اشاره شده و اصلاح گردیده است.

Reference

Application Library path: COMSOL_Multiphysics/Structural_Mechanics/
traveling_load

دیدگاه بگذارید

برای درج دیدگاه، لطفا وارد شوید
  مشترک شدن  
اطلاع از