انتقال جرم با خاصیت مویینگی-سیال دو فازی

نیروی کششی سطحی و چسبندگی دیواره اغلب برای حمل مایع از طریق میکرو کانال‌ها در دستگاه‌های MEMS (سیستم‌های میکروالکترومکانیکی) یا برای اندازه گیری حمل و نقل و موقعیت مقادیر کمی مایع با استفاده از میکروپیت‌ها استفاده می‌شود. جریان چند فازی در یک محیط متخلخل و قطرات بر روی دیواره‌های جامد، دیگر نمونه‌هایی است که چسبندگی دیواره و کشش سطحی به شدت بر دینامیک سیال اثر می‌گذارند.

این مثال به بررسی سیلندر باریک قرار گرفته روی یک مخزن پر از آب می‌پردازد. بخاطر چسبندگی دیواره و کشش سطحی در سطح مشترک آب و هوا، آب از کانال بالا می‌رود. مدل به محاسبه‌ی میدان سرعت، میدان فشار و شکل و موقعیت سطح آب می‌پردازد.

این مثال به نحوه‌ی مدل‌سازی پرشدن یک کانال مویینگی با استفاده از دو رابط چندفیزیکی ماژول میکروفلوئیدی می‌پردازد. می‌توانید از هریک از رابطه‌های Two-Phase Flow و Level Set یا Two-Phase Flow, Phase Field در کوپلینگ فیزیکی استفاده کنید. رابط Level Set روشی برمبنای محاسبه‌ی تکراری سطح مشترک آب و هوا می‌باشد. رابط Phase Field نیز با استفاده از معادله‌ی Cahn-Hillard، شامل پتانسیل شیمیایی برای انتشار و جداسازی دو بخش فازهاست. همچنین برای درنظرگرفتن مومنتوم جابجایی سیال و پایستگی جرمی از معادلات Navier-Stokes استفاده می‌‌شود.

تعریف مدل

مدل شامل یک کانال مویینگ با شعاع 0.15 میلیمتر، متصل شده به به یک مخزن آب می‌باشد. آب آزادانه می‌تواند وارد مخزن شود. چون که مخزن و کانال، سیلندری شکل می‌باشند، می توان از مدل متقارن محوری مطابق شکل 1 استفاده نمود. در ابتدا سیلندر از هوا پر شده است.  چسبندگی دیواره موجب خزیدن آب روی مرز سیلندر می‌شود. تغییر شکل سطح آب موجب وارد کردن تنش سطحی در سطح مشترک آب و هوا می‌شود که موجب پرش فشار در طول سطح مشترک می‌گردد. تغییرات فشار موجب بالارفتن آب و هوا می‌گردد. آب به بالا رفتن ادامه می‌دهد تا نیروی کشش سطحی با نیروی جاذبه‌ی به وجود آمده از بالا رفتن آب در کانال، برابر شود. در این مثال، نیروی مویینگی بر نیروی جاذبه در طول شبیه‌سازی، غالب است. در نتیجه،‌سطح مشترک در طول شبیه‌سازی به بالا رانده می‌شود.

سیملب سنتر
شکل1: هندسه‌ی متقارن محوری به همراه شروط مرزی

توصیف پخش و انتقال سطح مشترک، در سیال

Level Set Method

رابط Level Set بصورت خودکار مجموعه‌ای از معادلات را برای همرفتی و پخش در سطح مشترک، تولید می‌کند. سطح مشترک از طریق حدفاصل 0.5 در تابع  از level set بیان می‌گردد. در هوا \(\phi=0\)  و در آب، \(\phi=1\)  می‌باشد. بنابراین می‌توان تابع level set  را نمایانگر کسر حجمی آب در اینجا دانست. انتقال سطح مشترک سیال بین دو فاز مجزا با رابطه‌ی زیر بیان می‌شود:

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} +\mathbf{u} .\nabla \phi=\gamma \nabla .\left(\varepsilon \nabla \phi-\phi(1-\phi)\frac{\nabla \phi }{\left|\nabla \phi\right| } \right)  $$

پارامتر \(\varepsilon\) ضخامت سطح مشترک را بیان می‌دارد. وقتی که پایدارسازی در معادلات level set بکار گرفته شود، معمولا ضخامت سطح مشترک رامی‌توانید بصورت \(\varepsilon=h_c/2\) که \(h_c\) اندازه مشخصه‌ی مش در سطح مشترک است. پارامتر \(\gamma\) نیز مشخص کننده‌ی میزان باز مقداردهی اولیه می‌باشد که مقدار مناسب برای آن، اندازه‌ی سرعت حداکثر در مدل است. گوپلینگ چند فیزیکی، چگالی و ویسکوزیته را اینگونه بیان می‌کند:$$\rho=\rho_{air}+(\rho_{water}-\rho_{air})\phi$$

$$\mu=\mu_{air}+(\mu_{water}-\mu_{air})\phi$$

طبق این تعریف، چگالی و ویسکوزیته با شیب کمی در عرض سطح مشترک، تغییر می‌کند. تابع دلتا نیز بصورت زیر تخمین زده می‌شود:$$\delta=6\left|\phi(1-\phi)\right|\left|\nabla \phi\right| $$

و نرمال سطح مشترک بصورت زیر تعریف می‌گردد: $$\mathbf{n} =\frac{\nabla \phi}{\left|\nabla \phi \right| } $$

Phase Field Method

رابط Phase Field برای توصیف دینامیک سیال دوفازی با معادله‌ی Cahn-Hilliard بکار می‌رود. این معادله، مبین رابط انتشار است که فازهای مخلوط نشدنی را جدا می‌کند. رابط انتشار از طریق نواحی میدان فاز بی بعد با متغیر \(\phi\) با مقادیر بین 1- تا 1، تعریف می‌گردد. هنگامی حل در نرم‌افزار کامسول، معادله‌ی Cahn-Hilliard به دو معادله تقسیم می‌گردد:

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} +\mathbf{u}.\nabla \phi=\nabla .\frac{\gamma \lambda}{\varepsilon^2 } \nabla \psi$$

$$\psi=-\nabla .\varepsilon^2\nabla \phi+(\phi^2-1)\phi$$

که \(\mathbf{u}\)، سرعت سیال(\(m/s\))، \(\gamma\) پارامتر تحرک یا جنبش(\(m^3.s/kg\))، \(\lambda\) چگالی ترکیب انرژی(\(N\)) و \(\varepsilon\) پارامتر ضخامت فصل مشترک سیالات(\(m\)) می‌باشد. متغیر \(\psi\) نیز طبق تعریف، متغیرکمکی در میدان فاز می‌باشد. معادله‌ی زیر نیز چگالی ترکیب انرژی و ضخامت فصل مشترک را به ضریب تنش سطحی، مرتبط می‌سازد:$$\sigma =\frac{2\sqrt{2} }{3} \frac{\lambda}{\varepsilon } $$

همینطور بطور کلی می‌توانید \(\varepsilon\) را برابر با \(h_c/2\) تعریف کنید که \(h_c\) طول مش مشخصه در فصل مشترک است. پارامتر تحرک \(\gamma\) نیز مقیاس زمانی در انتشار Cahn-Hilliard مشخص می‌کند و باید منطقی انتخاب گردد. باید به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد تا سطح مشترک، ضخامت ثابتی داشته باشد و به اندازه کافی کوچک باشد تا ترم همرفتی، دمپ نشود. مقدار پیش فرض آن \(\gamma=\varepsilon^2\) بوده که حدس اولیه مناسبی می‌باشد. در این مدل از جنبش بیشتری استفاده شده تا به تغییرات فشار درستی در طول سطح مشترک برسیم.

در رابط Phase Field، کسر حجمی سیالات بصورت زیر بطور مجزا تعریف می‌شوند:

$$V_{f1}=\frac{1-\phi}{2} ,\,\,\,V_{f2}=\frac{1+\phi}{2}$$

در این مدل، آب به عنوان سیال شماره یک و هوا نیز سیال شماره دو، تعریف شده است.

رابط چند فیزیکی، چگالی و ویسکوزیته ترکیب را با تغییر آهسته در فصل مشترک، بصورت زیر محاسبه می‌کند:$$\rho=\rho_{water}+(\rho_{air}-\rho_{water})V_{f2}$$

$$\mu=\mu_{water}+(\mu_{air}-\mu_{water})V_{f2}$$

انتقال جرم و مومنتوم

معادله‌ی Navier-Stokes برای توصیف انتقال جرم و مومنتوم سیال در چگالی ثابت بکار می‌رود. برای درنظر گرفتن خاصیت مویینگی، لازم است که تنش سطحی وارد معادلات سیال شود. درنتیجه معالات ناویر-استوکس به شکل زیر در می‌آید:

$$\rho \frac{\partial \mathbf{u} }{\partial t} +\rho (\mathbf{u}.\nabla )\mathbf{u}=\nabla .[-p\mathbf{I} +\mu (\nabla \mathbf{u}+(\nabla \mathbf{u})^T)]+\mathbf{F} _{st}+\rho \mathbf{g} $$

$$\nabla .\mathbf{u}=0$$

که \(\rho\) بیانگر چگالی(\(kg/m^3\))، \(\mu\) همان ویسکوزیته دینامیکی(\(Ns/m^2\))، \(\mathbf{u}\) معرف سرعت(\(m/s\))، \(p\) فشار(\(Pa\)) و \(\mathbf{g}\) بردار جاذبه(\(m/s^2\)) می‌باشد. \(\mathbf{F}_{st}\) نیروی حاصل از تنش سطحی است که به فصل مشترک هوا-آب اعمال می‌گردد.

تنش سطحی

در رابط Level Set، نیروی حاصل از تنش سطحی بصورت زیر بیان می‌شود:

$$\mathbf{F} _{st}=\nabla. \mathbf{T} $$

$$\mathbf{T} =\sigma (\mathbf{I} -(\mathbf{nn} ^T))\delta$$

که \(\mathbf{I}\) ماتریس واحد، \(\mathbf{n}\) نرمال سطح مشترک، \(\sigma\) ضریب تنش سطحی(\(N/m\)) و \(\delta\) تابع دلتای دیراک است که تنها در سطح مشترک مقداری غیرصفر دارد. وقتی که برای حل معادلات ناویر-استوکس از روش المان محدود استفاده می‌کنید، شما معادلات را با استفاده از تابع \(“test”\) ضرب می‌کنید و در کل دامنه‌ی ابعادی محاسباتی انتگرال می‌گیرید. اگر هم از انتگرال‌گیری جزء به جزء استفاده می‌کنید، می‌توانید مشتقات \(\mathbf{T}\) در توابع \(“test”\) استفاده نمایید. درنتیجه نیاز به انتگرال‌گیری روی سطح و همچنین انتگرال روی مرز به شکل زیر است: $$\int\limits_{\partial \Omega }^{}{test(\mathbf{u}).[\sigma(\mathbf{n}_{\mathrm{wall} }-(\mathbf{u}\,\mathrm{cos\,\theta} ))\delta])} dS$$

که \(\mathrm{\theta}\) زاویه تماس است(شکل 2). اگر اگر شرط مرزی no slip استفاده کنید، ترم انتگرال مرزی، از بین می‌رود، چرا که در این حالت \(test(\mathbf{u})=0\) می‌باشد و نمی‌توانید زاویه تماس را معین کنید. در عوض سطح مشترک بر روی دیواره، ثابت می‌ماند. اگرچه اگر مقداری لغزش در دیواره اعمال کنید، امکان تعریف زاویه تماس، وجود دارد. کوپلینگ Wetted Wall ترم معادله‌ی بالا را وارد مدل می کند و درنتیجه امکان تنظیم زاویه تماس را به‌وجود می‌آورد.

در رابط Phase Field، رابط انتشار، محاسبه‌ی تنش سطحی را به شکل زیر ممکن می‌سازد:

$$\mathbf{F} _{st}=G\nabla \phi$$

که \(\phi\) پارامتر فاز و \(G\) پتانسیل شیمیایی(\(J/m^3\)) می‌باشد:

$$G=\lambda \left[-\nabla ^2 \phi +\frac{\phi(\phi^2-1)}{\varepsilon ^2} \right] =\frac{\lambda}{\varepsilon ^2} \psi $$

همچنان که در معادله میبینید، تنش سطحی در فصل مشترک از طریق نیروی گسترده روی آن تنها از طریق \(\psi\) و یا گرادیان متغیر فازی، محاسبه می‌شود. محاسبات بدین شکل، کاری با نرمال سطح و انحنای آن که مشکلات عددی به وجود می‌آورد، ندارد.

شرایط اولیه

در ابتدا مخزن پر از آب است و کانال از هوا پر شده و سرعت اولیه نیز صفر است.

شروط مرزی

Inlet

فشار هیدرواستاتیکی، \(p=\rho gz\) به عنوان فشار در سیال ورودی تعریف می‌گردد. شرط مرزی فشار، بطور اتوماتیک فشار هیرواستاتیکی را درنظر می‌گیرد، درنتیجه مقدار واقعی فشار در ورودی، صفر است. در ورودی تنها آب وارد می‌شود، درنتیجه کسر حجمی آن 1 است.

Outlet

در خروجی، فشار برابر با صفر است. چون که شرط مرزی سیال خروجی است، تنظیم خاصی در Level Set نیاز نیست.

Walls

ویژگی Wetted Wall برای دیواره‌ی جامد که در تماس با سطح مایع است، مناسب می‌باشد. اجزای سرعت در جهت نرمال دیواره برابر با صفر است: 

$$\mathbf{u.n}_\mathtt{wall} =0$$

و یک نیروی اصطکاک مرزی را به وجود می‌آورد: $$\mathbf{F} _{fr}=-\frac{\mu}{\beta} \mathbf{u}$$

که \(\beta\) طول لغزش می‌باشد. همچنین این شرط مرزی به شما اجازه می‌دهد زاویه تماس سطح مشترک را با دیواره مشخص کنید(شکل 2). در این مثال، زاویه تماس 67.5 درجه و طول لغزش برابر با اندازه مش، یعنی \(h\) می‌باشد.

سیملب سنتر
شکل2: تعریف زاویه تماس

موارد قابل توجه در پیاده سازی در نرم‌افزار کامسول

این مدل با تنظیمات ساده و مستقیم برای هر یک از رابط‌های Level Set و Phase Field قابل استفاده است. در دیواره‌های که در تماس با سطح مشترک سیال است، می‌توانید از کوپلینگ Wetted Wall استفاده نمایید.

شبیه‌سازی شامل دو مرحله است. در ابتدا شروط اولیه‌ی phase field و level set محاسبه می‌شود و سپس حل زمانی آغاز می‌گردد که این موارد بطور اتوماتیک توسط نرم‌افزار تنظیم می‌گردد. شما تنها نیاز به مشخص کردن زمان مناسب برای مرحله اولیه و تحلیل وابسته به زمان دارید.

نتایج و بحث

در شکل 3 نحوه‌ی توسعه یافتگی سطح اولیه به نمایش گذاشته شده است. در این مرحه، سطح به شدت دچار تغییر می‌شود تا زاویه تماس تعریف شده با دیواره حاصل گردد. سپس تنش سطحی حاصل شده به واسطه‌ی انحنای سطح، موجب بالا رفتن آب از کانال می‌گردد. به دلیل شروع ناگهانی شبیه سازی، هنگام بالارفتن آب، سطح دچار نوسانات آرامی می‌شود.

شکل3: تصاویر 0.15 میلی ثانیه تحلیل. سمت راست Phase Field و سمت چپ Level Set

شکل 4، فصل مشترک و میدان سرعت را در سه زمان مختلف بعد از مرحله اولیه نشان می‌دهد. بعد از حدود 0.6 میلی ثانیه سطح آب تقریبا پایدار بوده و شکل هلالی مقعر آن در حال افزایش است. مقایسه‌ی میدان‌ سرعت در Level Set و Phase Field نشان می‌دهد که Level Set سرعت ناچیزی در نزدیک به دیواره در نقطه‌ی اتصال سطح مشترک را نشان می‌دهد. چیزی که در نتایج Phase Field وجود ندارد. این به دلیل شرایط مختلف در wetted wall است. رابط Level Set به طول wall slip نیاز دارد تا در طول دیواره حرکت کند. همچنان که در شکل 4 مشخص است سرعت لغزشی وارد شده در دیواره، ناچیز است. در مدل Phase Field طول لغزشی نیاز نبوده و سرعت سیال در دیواره دقیقا صفر است.

سیملب سنتر
شکل4: سطح مشترک و میدان سرعت، بالایی Level Set و پایینی Phase Field

شکل 5 فشار را در 0.6 میلی ثانیه نشان می‌دهد. در فصل مشترک، پرش فشار، حدود 300 پاسکال است. این پرش به دلیل تنش سطحی و نیروی وارد بر آب و هوا برای بالارفتن از سیلندر عمودی است.

سیملب سنتر
سیملب سنتر
شکل5: فشار در زمان 0.6ms، بالایی Level Set و پایینی Phase Field

همچنین به سادگی می‌توان موقعیت نقطه‌ی اتصال فصل مشترک با دیواره را با انتگرال‌گیری تابع level set در طول دیواره سیلندر محاسبه کرد. شکل 6 این موقعیت را نشان می‌دهد. یک نوسان کوچک نیز در جابجایی این نقطه دیده می‌شود. این رسم در دو روش به خوبی قابل مقایسه است و باید درآن به دو مورد جزئی اشاره داشت. اول اینکه نوسانات سطحی در Level Set کمی بیشتر است و مکان نقطه‌ی مورد بحث در این رابط نیز قدری بشتر است. هر دو اختلاف ناچیز است و به دلیل پیاده سازی مختلف wetted wall در دو روش است.

سیملب سنتر
شکل6: موقعیت نقطه‌ی اتصال سطح مشترک با دیواره در طول زمان. بالایی Level Set و پایینی Phase Field. سرعت نیز بعد از 0.6ms تقریبا ثابت است.

در نهایت شما می‌توانید زاویه‌ی تماس سطح مشترک با دیواره را راستی آزمایی کنید. که با رابطه‌ی \(\mathrm{cos} \theta=\mathbf{n^Tn} _{\mathrm{wall} }\) بیان می‌شود. در این مدل، نرمال دیواره برابر با \(\mathbf{n} _{\mathrm{wall} }=\mathbf{e} _r\) است. درنتیجه زاویه تماس برابر است با \(\theta=\mathrm{acos} \,n_r\) که \(n_r\) جزء شعاعی نرمال سطح مشترک است. به دلیل نوسانات کوچک سطح، در طول بالا رفتن، زاویه تماس، متغیر است. مطابق با شکل 7 در زمان 0.6 میلی ثانیه، در رابط Level Set این زاویه برابر با 67.7 درجه و در رابط Phase Field برابر با 68 درجه می‌باشد. هر دو نتیجه نزدیک به زاویه تماس مفروض \(3\pi/8=1.18\,\mathrm{rad} =67.5^\circ \) است. زاویه تماس با افزایش کیفیت مش، به مقدار مفروض نزدیک‌تر می‌شود.

سیملب سنتر
شکل7: نمایش \(\theta=\mathrm{acos} \,n_r\) که در دیواره معرف زاویه تماس است. بالایی Level Set و پایینی Phase Field

ویدئوی انتقال جرم با خاصیت مویینگی-سیال دو فازی

Reference

Application Library path: CFD_Module/Multiphase_Tutorials/capillar_filling_pf

دیدگاه بگذارید

برای درج دیدگاه، لطفا وارد شوید
  مشترک شدن  
اطلاع از